统计学19:二项分布1

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二项分布

看一下掷硬币的问题

掷一次硬币正面或者反面发生的概率都是$\frac{1}{2}$

掷五次硬币或者一次掷五个硬币(每个硬币正反 独立的,每次硬币独立的,怎么操作都一样.),记出现正面的数量为$X$.
$P(X=0)$(出现正面为0次的概率,也就是五次全为反面)?

全为反面只有一种情况,就是第一次投掷为反,第二次为反...

$$P(X=0)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{32}$$

$P(X=1)$(出现正面为1次的概率)?

正面为1次有5种情况,就是第一次投掷为正,其他全为反;第二次为正,其他全为反...
每中情况都是$\frac{1}{32}$(出现正面的次数和非正面的次数都是$\frac{1}{2}$)

$$P(X=1)=5 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$$

$P(X=2)$(出现正面为2次的概率)?

还要枚举吗?好像有点累
分析一下:

  • 先确定一个正面发生的位置,它有5种(第一次投掷为正,第二次为正...),再确定第二个正面发生的位置,第一个记录已经占走了一个位置,还有四个位置选一个为正,有4种. $5 \times 4$
  • 刚刚我们先确定了,再确定,多做了排序,也就是同样第二次和第三次为正,但是我们却在刚刚把它记为了两种情况(先找到2位再发现3,和先找到3再发现2)我们要排除我们不必要的排序. $\frac{5 \times 4}{2}$
  • 每中情况都是$\frac{1}{32}$

$$P(X=2)=\frac{5 \times 4}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16}$$

$P(X=3)$?

  • 确定第一个(5个位置选1个),第二个(4个位置选1个),第三个(3个位置选1个)$5 \times 4 \times 3$
  • 排除不必要的排序(3个的排序为$3 \times 2$). $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2}$
  • 每中情况都是$\frac{1}{32}$

$$P(X=3)=\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2} \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16}$$

$P(X=4)$?

  • $A_5^4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2$
  • $\frac{A_5^4}{A_4^4} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2}$
  • $\frac{1}{32}$

$$P(X=4)=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2} \times \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$$

$P(X=5)$?

$$P(X=5)=C_5^5 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$$

也可以把5次为正理解为0次为反,正反概率相等,那么$P(X=5)=P(X=0)$

二项分布就是重复n次独立的伯努利试验.
伯努利实验:在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变


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