内容是使用Jupyter Notebook写的，它比较便利编写公式和调试代码．这里的内容是粘贴的，所以代码的排版可能存在无法直接执行．
非线性与金融
非线性模型预测波动性，衍生工具价格，计算风险价值
非线性模型不一定可以推断出全局最优解
数值求根方法通常收敛到最近的局部最优解
非线性建模
隐含波动率模型
BCM定价
$$C(S, t) = Se^{-qT}N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$$
$$d_1 = \frac{ln(S/K + (r -q + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$
$$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$$
马尔科夫机制转换模型
$$y_t = x_1D_t + x_2(1-D_t) + \varepsilon_i$$
门限自回归模型
$$y_t = (a_1 + b_1y_{t-d})D_t + (a_2 + b_2y_{t-d})(1-D_t) + \varepsilon_i$$
平滑转换模型
通过逻辑函数$G(y_{t-1}; \; \gamma, \; c)$
$$G(y_{t-1}; \; \gamma, \; c) = \frac{1}{1 + e^{-\gamma (y_{t-d} - c)}}$$
$$y_t = (a_1 + b_1 y_{t-d})(1-G(y_{t-1}; \; \gamma, \; c)) + (a_2 + b_2 y_{t-d})G(y_{t-1}; \; \gamma, \; c) + \varepsilon_i$$
非线性模型求根算法概述
求根法是一个迭代过程，需要一个起始点或估计的根。估计根可能会收敛得到函数解，可能收敛到非所求根，也可能根本无解。
近似根的估计没有统一方法。
增量法
对于任意起点$a$，假定对于增量$d_x$，$f(a+dx)$、$f(a+2dx)$、$f(a+3dx)$、$f(a+4dx)$，函数值符号改变时表明求得一个解。
收敛时间过长，不够实用，但是它是最简单的。
import numpy as np
def incremental_search(f, a, b, dx):
fa = f(a)
c = a + dx
fc = f(c)
n = 1
while np.sign(fa) == np.sign(fc):
if a >= b:
return a - dx, n
fa = fc
c += dx
fc = f(c)
n += 1
if fa ==0:
return c - dx, n
elif fc == 0:
return c, n
else:
return (2 * c - dx) / 2., n
y = lambda x: x**3. + 2.*x**2 - 5
root, iterations = incremental_search(y, -5., 5., 0.001)
root, iterations
二分法
不要求求导，非光滑函数一样适用。但是迭代时间长。
原理应该根据名字很好理解，就是每次寻找函数在区间两段异号，然后不停的二分，缩小区间。
def bisection(f, a, b, tol=0.1, maxiter=10):
n = 1
while n <= maxiter:
c = (a + b) * 0.5
if f(c) == 0 or abs(a - b) * 0.5 < tol:
return c, n
n += 1
if f(c) < 0:
a = c
else:
b = c
return c, n
y = lambda x: x**3. + 2.*x**2 - 5
root, iterations = bisection(y, -5., 5., 0.001, 100)
root, iterations
牛顿迭代法
牛顿-拉夫逊法
$$x_1 = x - \frac{f(x)}{f’(x)}$$
表示切与x轴相交于点$x_1$，也表示$f$在点$x_1$的一阶泰勒展开式
则$$f(x_1 + \Delta x) = 0$$
需要初始值，计算$f(x)、f’(x)$
当函数有不止一个跟或计算达到局部极值时，无法进行下一步计算
def newton(f, df, x, tol=0.001, maxiter=100):
n = 1
while n <= maxiter:
x1 = x - f(x) / df(x)
if abs(x1 - x) < tol:
return x1, n
else:
x = x1
n += 1
return None, n
y = lambda x: x**3. + 2.*x**2 - 5
dy = lambda x: 3*x**2 + 4*x
root, iterations = newton(y, dy, 5., 0.00000001, 100)
root, iterations
割线法
准牛顿迭代法
$$y = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(c - b) + f(b)$$
$$c = b - f(b) \frac {b - a}{f(b) - f(a)}$$
超线性收敛， 无需求导，速度快于二分小于牛顿迭代。
但是牛顿迭代法运算量大（浮点），割线法在绝对时间上占据优势
def secant(f, a, b, tol=0.0001, maxiter=100):
n = 1
while n <= maxiter:
c = b - f(b) * (b - a) / (f(b) - f(a))
if abs(c - b) < tol:
return c, n
a = b
b = c
n += 1
return None, n
y = lambda x: x**3. + 2.*x**2 - 5
root, iterations = secant(y, -5.0, 5., 0.00000001, 100)
root, iterations
求根法综合应用
- 利用速度较快的割线法将问题收敛至误差值，或达到最大收敛次数。
- 一旦达到预设误差值，切换至二分法求解
Brent
Brent结合了二分法、割线法、逆二次插值法，尽可能使用割线法或逆二次插值法，必要时采用二分法。
scipy.optimize.brentq
Scipy求解
bisect、 newton、 brentq、 ridder
这些函数返回时，需要$f(a)$、$f(b)$异号。但是实际情况，往往不尽如意，约束难以满足。
比如非线性隐含波动率，波动率值不允许为负值。现实活跃的市场中，几乎无法在不修改函数条件的情况下求出波动率函数的根。需要根据自己的求根方法编写程序。
通用非线性求解器
root、fsolve
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