泊松过程
确定交通道路上任意时刻通过车的数量．先定义一个相关随机变量X（表示一个小时内通过的车辆数）．
假设条件：任意时刻的情况没有差异（没有高峰期之类的，每分每秒都一样），每一时刻是独立（不会受其他时刻的影响）
基于假设估计均值
可以先观察几个小时的车流量，然后平均，来估计总体的均值．那也就期望值．假设期望值的估计值是$\lambda$，已知二项分布（每一小时间区间是否通过车）．
$$E(X) = \lambda = np$$
一小时有60分钟，我们就假设n为60次实验次数，p则是通过K车的概率．单次实验通过车概率为$\frac{\lambda}{60}$
$$E(X=k) = \binom{60}{k}(\frac{\lambda}{60})^k(1-\frac{\lambda}{60})^{(60-k)}$$
但是一分钟可能有多辆车通过，那就改成3600次，但是每一秒有好多车通过，那就让大无穷大．
复习数学
$${\lim_{x \to +\infty}} (1+ \frac{a}{x}) ^x = e^a$$
$\frac{1}{n}=\frac{a}{x}$
$${\lim_{n \to +\infty}} (1+ \frac{1}{n}) ^{na} = \bigg( {\lim_{n \to +\infty}} \big(1+ \frac{1}{n} \big) ^n \bigg)^a$$
$${\lim_{n \to +\infty}} \big(1+ \frac{1}{n} \big) ^n =e$$
$$\frac{x!}{(x-k)!} = x(x-1)(x-2)…(x-k+1)$$
$${\lim_{x \to a}} f(x) g(x) = {\lim_{x \to a}} f(x){\lim_{x \to a}} g(x)$$
推导
$P(X=k) = {\lim_{n\to \infty}} \binom{n}{k} \bigg(\frac{\lambda}{n} \bigg)^k \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^{n-k}\\
= {\lim_{n\to \infty}} \frac{n!}{(n-k)!k!} \frac{\lambda ^k}{n^k} \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^n \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^{-k}\\
= {\lim_{n\to \infty}} \frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda ^k}{k!} \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^n \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^{-k}\\
= {\lim_{n\to \infty}} \frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{n^k} \frac{\lambda ^k}{k!} {\lim_{n\to \infty}} \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^n \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^{-k}\\
= 1 \frac{\lambda ^k}{k!} e^{-\lambda} 1
$
$$P(X=k) = {\lim_{n\to \infty}} \binom{n}{k} \bigg(\frac{\lambda}{n} \bigg)^k \bigg(1-\frac{\lambda}{n} \bigg)^{n-k} = \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}$$
$n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n^k…$，省略号部分比$n^k$阶数小
$${\lim_{n\to \infty}} \frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{n^k}=1$$
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